Чтобы не сомневаться, как правильно сказать – сразу по приезду или по приезде, нужно определить смысл высказывания. Если речь идет о времени после какого-либо события, то с предлогом “по” необходимо употреблять предложный падеж. Для слова “приезд” и других существительных мужского рода второго склонения в предложном падеже характерно окончание -е-. Т.е., если мы говорим о времени после приезда, то правильной будет форма “по приезде”. Дательный падеж был бы актуален для словосочетаний, которые указывают на движение по поверхности либо когда предлог является синоним предлога “по” (гулять по городу, есть вопросы по приезду).
Примеры:
Я отправился домой сразу по приезде в родной город.
Не забудь по приезде доложить о результатах поездки.
Она обещала позвонить сразу по приезде, но, конечно, снова обо всем забыла.
По приезду в город наших друзей было много вопросов.