Написание сочетания “не забуду” возможно только раздельно.
Правописание объясняется простым правилом: частица “не” с глаголами, причастиями и деепричастиями всегда пишется раздельно. “Забуду” – это форма первого лица единственного числа глагола “забыть”, поэтому здесь смело применяем правило написания “не” с глаголами.
Пример:
Я не забуду твоего гостеприимства и буду благодарен тебе всегда.