Глагол «чаять» в современном языке употребляется редко, обычно в составе фразеологизма «души не чает».
В свое время слово имело два значения: «чувствовать, осознавать» и «надеяться». «Души не чаять» – значит любить ни о чем не думая, не осознавая недостатков, безмерно. В предложении «Он не чает избавиться от непомерных забот» имеется в виду, что «он не надеется».