Наречие “наконец-таки” правильно пишется через дефис. Нужно запомнить правило: написание наречий, глаголов и других частиц с частицей “-таки” требует дефиса (написал-таки, снова-таки, все-таки).
Примеры:
Мама наконец-таки решила поговорить с сыном серьезно.
Мы сели в вагон и наконец-таки осознали неизбежность перемен.
Ты наконец-таки вернулся к нам.