В зависимости от контекста «после» может являться разными частями речи. «После» будет относиться к наречиям при условии, что к нему можно задать вопрос обстоятельства.
Я заеду к тебе после.
«После» – это предлог, если рядом с ним есть имя существительное.
Я вышел прогуляться после ужина.