Наедине – это наречие, отвечает на вопрос “как?” Его всегда следует писать слитно.
Наречие “наедине” образовано от прилагательного “единый” и расширяет значение глагола: остаться (“как?”) наедине.
В русском языке не существует слова “едине”, поэтому наречие “наедине” пишется в любом случае слитно.