Написание слова зависит от контекста:
- Если глагол отвечает на вопрос «Что делать? Что сделать?», то пишем через мягкий знак – «извиниться». Пример: Я хотел было извиниться перед ребятами, но потом передумал.
- Если глагол отвечает на вопрос «Что делает/делают? / Что сделает/сделают?», то пишем без мягкого знака – «извинится». Пример: Мой брат обязательно извинится перед вами.