Правильный вариант написания – ищет.
В русском языке есть слова, в корнях которых происходит чередование согласных “ск” и “щ”.
Искать – начальная форма глагола, корень слова – “-иск-“.
Ищет – глагол в форме 3-го лица, единственное число. Корень – “-ищ-“.
- Катя ищет потерянные билеты.
- Ваня ищет работу.